الگوی فراکتال در طبیعت

math world (جهان ریاضی)

شاید تا کنون بارها نام فراکتالها یا برخالها را شنیده باشید؛ موجوداتی که به عنوان اصلی ترین بازیگران هندسه منتج از نظریه آشوب شناخته می شوند.
این هندسه ویژگی های منحصر به فردی دارد، که می تواند توجیه گر بسیاری از رویدادهای جهان اطراف ما باشد، اما ویژگی اصلی که در تعریف آشوب و بالطبع هندسه آن وجود دارد، باعث می شود ما استفاده ویژه ای از این سیستم ببریم.

این روزها از فراکتالها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه ای نام می برند، اما هنگام پیدایش این مفهوم جدید بیشترین نقش را در فشرده سازی فایلهای تصویری بازی کردند.

برای آن که درک بهتری نسبت به فراکتالها داشته باشیم ، بد نیست نگاه مختصری به آشوبی بیندازیم ، که فراکتال ها فضای هندسی آنها را تعریف می کند.

فصل مشترک تعاریفی که برای مفهوم آشوب ارائه شده است ، تاکید بر این نکته است که آشوب دانش بررسی رفتار سیستم هایی است که اگرچه ورودی آنها قابل تعیین واندازه گیری است ، اما خروجی این سیستم ها ظاهری کتره ای و تصادفی دارد.
شاید به همین دلیل بود که استوارت ریاضیدان برجسته این موضوع را مفهومی احتمالاتی می دانست ، اما چیزی نگذشت که وی تعریف خود را اصلاح کرد و به تعریفی رسید که تقریبا مورد تایید عمومی قرار دارد.

بر اساس این تعریف ، آشوب به توانایی یک الگو و مدل ساده گفته می شود که اگرچه خود این الگو هیچ نشانی از پدیده های تصادفی در خود ندارد، اما می تواند منجر به ظهور رفتارهای بسیار بی قاعده در محیط شود.

برای مثال ، یک دنباله ریاضی از اعداد را در نظر بگیرید که برای توضیح یک پدیده مشخص وضع شده است. بیایید هربار پاسخ معادله را به عنوان متغیر جدید به این سیستم وارد کنید .

سری جوابی که به دست خواهد آمد، دنباله ای از اعداد است که رفتاری آشوبناک دارد و اگر آنها را تصویر کنیم به یک الگوی واقعی آشوب می رسیم ؛ مثلا معادله ساده x3+c که در آن c یک عدد مختلط است ، اگر یک بار یک عدد به x نسبت دهیم و دفعات بعد به جای عدددلخواه پاسخ قبلی معادله را به xنسبت دهیم ، نمونه بسیار جذابی از یک رابطه آشوبناک به دست می آید؛ رابطه ای که زیبایی های خود را آشکار خواهد کرد، اما نکته ای هم مشخص است.

همین طور که از مثال مشخص شده ، یکی از شناسه های مهم سیستم های آشوب در این است که بازخورد یک رفتار بر ادامه فعالیت آن تاثیر می گذارد؛ یعنی همواره اولین محصول خروجی در ادامه روند نقش بازی می کند؛ همانند زاد و ولد موجودات ، اگر بخواهیم روند زاد و ولد انسان یا هر موجود دیگری را در نظر بگیریم ، باید توجه کنیم که نسل اول کودکان اگرچه محصول این سیستم هستند، اما در تعیین ادامه روند سیستم نقش بازی می کنند.

فراکتالها
اگرچه آشوب نظریه ای است که بر موضوعات گوناگون اجتماعی و سیاسی و اقتصادی نظر دارد، اما نیازمند زبانی برای تصویر سازی مفاهیم خود بود و این عرصه ای بود که هندسه آشوب یا فراکتالها خلق کردند.

ما در هندسه آشوب با تصاویر متفاوتی سرو کار داریم ، تصاویری که بزرگترین خصوصیات آنها این است که وقتی رسم آن را آغاز می کنیم ، نمی دانیم در نهایت با چه پدیده ای روبه رو خواهیم شد و از سوی دیگر بازخورد در آن نقش اساسی دارد. بیایید یک فرمول کلی را اجرا کنیم. یک مثلث متساوی الاضلاع رسم کنید.
حال میانه 3ضلع را مشخص کرده و از رسم آنها به هم مثلث متساوی الساقین جدیدی به دست آورید. همین بلا را بر سر 3مثلث تشکیل شده بیرونی بکنید و این روند را تا آنجا که می توانید ادامه دهید. شما با استفاده از یک رابطه ساده - که تقسیم اضلاع مثلث به نصف و اتصال آنها به هم بود - و با تکرار آن موفق به رسم نقشه یک ساختار فراکتالی شده اید.

چنان اشکالی اجزای سازنده هندسه جدی فراکتالی هستند؛ هندسه ای که به قول یکی از خالقان آن ، یعنی مندلبرات ابزاری را برای دیدن بی نهایت در اختیار ما قرار می دهد.این اشکال یک مشخصه بسیار عمده دارند. کل شکل از اجزایی مشابه شکل اول تشکیل شده است.
در مثال خودمان مثلث بزرگ از مجموعه ای مثلثهای همسان به وجود آمده است. این یکی از خصوصیات زیبای فراکتالهاست که همزمان از سوی طبیعت و فناوری به کار گرفته شده است.

اگر تا به حال به یک برگ سرخس نگاه کرده باشید، می توانید متوجه تشابه اجزای مختلف آن شوید. ساختار کل ساقه همانند یک برگ و ساختار یک برگ همانند یک جزو کوچک آن است.

اگر فرصت کردید نگاهی هم به سواحل دریاها یا تصاویر هوایی کوهستان ها و گیاهان اطرافتان بیندازید، بسرعت درخواهید یافت که در جهانی آشوب زده احاطه شده اید. اگر هنوز از این موجودات ساده و در عین حال پیچیده هیجان زده نشده اید، این نکته را هم بشنوید.این اجسام نه یک بعدی اند، نه دو بعدی و نه سه بعدی.
این ها ابعادی کسری دارند؟ فراکتالها دقیقا به دلیل همین خاصیت ویژه ای که دارند، زمانی توانستند روشی برای ذخیره سازی تصاویر ارائه دهند. معمولا زمانی که یک تصویر گرافیکی قرار است به شکل یک فایل تصویری ذخیره شود، باید مشخصات هرنقطه از آن (شامل محل قرار گیری پیکسل و رنگ آن به صورت داده هایی عدی ذخیره شود و زمانی که یک مرور گر بخواهد این فایل را برای شما به تصویر بکشد و نمایش دهد، باید بتواند این کدهای عدی را به ویژگیهای گرافیکی تبدیل کند و آن را به نمایش بگذارد. مشکلی که در این کار وجود دارد، حجم بالایی از داده ها ست که باید از سوی نرم افزار ضبط کننده و تولید کننده بررسی شود.

اگر بخواهیم تصویر نهایی ما کیفیتی عالی داشته باشد،نیازمند آنیم که اطلاعات هریک از نقاط تشکیل دهنده تصاویر را با دقت بالایی مشخص و ثبت کنیم و این حجم بسیار بالایی از حافظه را به خود اختصاص می دهد، به همین دلیل ، روشهایی برای فشرده سازی تصویر ارائه می شود.

اگر نگاهی به فایلهایی که با پسوندهای مختلف ضبط شده اند، بیندازید متوجه تفاوت فاحش حجم آنها می شوید. برخی از این فرمتها با پذیرفتن افت کیفیت بین تصویر تولیدی و آنچه آنها ذخیره می کنند، عملا این امکان را در اختیار مردم قرار می دهند، که بتوانند فایلها و تصاویر خود را روی فلاپی ها و با حجم کمتر ذخیره کنند یا روی اینترنت قرار دهند.

برای این فشرده سازی از روشهای مختفی استفاده می شود. درواقع در این فشرده سازی ها بر اساس برخی الگوریتم های کار آمد سعی می شود به جای ضبط تمام داده های یک پیکسل مشخصات اساسی از یک ناحیه ذخیره شود، که هنگام باز سازی تصویر نقشی اساسی تر را ایفا می کنند.
در اینجاست که روش فراکتالی اهمیت خود را نشان می داد. در یکی از روشهایی که در این باره مطرح شد و با استقبال بسیار خوبی از سوی طراحان مواجه شد، روش استفاده از خاصیت الگوهای فراکتالی بود. در این روش از این ویژگی اصلی فراکتالها استفاده می شد که جزیی از یک تصویر در کل آن تکرار می شود.برای درک بهتر به یک مثال نگاهی بیندازیم. فرض کنید تصویری از یک برگ سرخس تهیه کرده اید و قصد ذخیره کردن آن را دارید.

همان طور که قبلا هم اشاره شد، این برگ ساختاری کاملا فراکتالی دارد؛ یعنی اجزای کوچک تشکیل دهنده در ساختار بزرگ تکرار می شود.
بخشی از یک برگ کوچک ،برگ را می سازد و کنار هم قرار گرفتن برگها ساقه اصلی را تشکیل می دهد. اگر بخواهیم تصویر این برگ را به روش عادی ذخیره کنیم ، باید مشخصات میلیون ها نقطه این برگ را دانه به دانه ثبت کنیم ، اما راه دیگری هم وجود دارد. بیایید و مشخصات تنها یکی از دانه های اصلی را ضبط کنید. در این هنگام با اضافه کردن چند عملگر ریاضی ساده بقیه برگ را می توانید تولید کنید.

در واقع ، با در اختیار داشتن این بلوک ساختمانی و اعمال عملگرهایی چون دوران حول محورهای مختلف ، بزرگ کردن یا کوچک کردن و انتقال می توان حجم تصویر ذخیره شده را به طور قابل توجهی کاهش داد.

در این روش نرم افزار نمایشگر شما هنگامی که می خواهد تصویر را بازسازی کند، باید ابتدا بلوک کوچک را شبیه سازی کرده ، سپس عملگرهای ریاضی را روی آن اعمال کند، تا نتیجه نهایی حاصل شود.

به نظر می رسد این روش می تواند حجم نهایی را به شکل قابل ملاحظه ای کاهش دهد، اما تنها یک مشکل کوچک وجود دارد و آن هم این نکته است که همه اشیای اطراف ما برگ سرخس نیستند و بنابراین الگوهای تکرار در آنها همیشه اینقدر آشکار نیست.

بنابراین باید روشی بتواند الگوهای فراکتالی حاضر در یک تصویر را شناسایی کنند و در صورت امکان آن را اعمال کند.

به همین دلیل ، معمولا روش فراکتالی با روشهای فشرده سازی دیگر همزمان به کار برده می شود؛ یعنی اگر الگوهای تکرار چندان پررنگ نبودند، بازهم فشرده سازی امکانپذیر باشدالبته زیاد نگران ناکارامدی این روش نباشید. یادتان نرود، شما در جهانی زندگی می کنید که براساس یافته جدید ساختاری آشوبناک دارد.

مطمئن باشید هندسه فراکتال بر بسیاری از اشکال عالم حاکم است ؛ حتی اگر در نگاه اول چندان آشکا ر نباشد.

امواج الیوت و هندسه فراکتالی

در این مجموعه مقالات سعی داریم تا توضیحی جامع پیرامون اصل موج الیوت ارائه دهیم. مبنای این نظریه چرخه و زیرجزهای تکرارشونده‌ در نمودار موج است که در سابقه معاملاتی قرار گرفته و هر زمان که سطح فعالیت کاربران بازار معاملات افزایش یابدتشدید موج صورت می‌گیرد و زفتار بازار نمود بیشتری در امواج پیدا می‌کند. این شکلگیری می‌تواند یک سونامی را ایجاد نماید که تلفیقی از تحلیل چندین موج می‌باشد و تجلی این قانون در آن کاملا مشهود است. در این میان پیشبینی‌های بسیاری از طریق واکاوی امواج می‌تواند صورت گیرد و مباحثی نظیر ساختارهای فراکتالی مطرح گردد. در ادامه این دسته مقالات توضیحاتی با موضوعیت امواج الیوت و مبانی هندسه فرکتالی ارائه می‌گردد.

الف) اصل موج الیوت

اصل موج الیوت نوعی تحلیل تکنیکال است که معامله گران برای شناسایی چرخه بازار مالی و پیش بینی روند بازار با شناسایی افراط سرمایه‌گذار از دیدگاه روانشناسی‌، بالا رفتن و پایین آمدن قیمت‌ها و سایر عوامل جمعی را مورد تحلیل قرار می‌دهند. رالف نلسون الیوت (حسابدار حرفه ای 1871)‌، اصول آن را کشف کرد و ابزارهای تحلیلی را در دهه 1930 توسعه داد. وی ادعا کرد که قیمت‌های بازار در الگوهای مشخصی گسترش می‌یابند‌، این ادعا امروزه اصل امواج الیوت یا به الگوی فراکتال در طبیعت الگوی فراکتال در طبیعت طور ساده‌تر موج اصلی ‌نامیده می‌شود. الیوت نظریه رفتار خود در بازار را در کتاب “اصل موج” در سال 1938 منتشر کرد‌، و آن را به طور خلاصه در سال 1939 در مجله جهانی فایننشال ارائه داد و تمامی جوانب این موضوع را در اثر خود تحت عنوان “قوانین طبیعت: راز جهان” چاپ نمود. الیوت اظهار داشت: “چون انسان تحت عمل ریتمیک قرار دارد‌، محاسبات مربوط به فعالیت‌های خود را ‌می‌توان با توجیه و یقینی غیرقابل انکار، پیش بینی کرد.”

طراحی کلی

اصل موج الیوت بیان ‌می‌کند که روانشناسی سرمایه‌گذاری جمعی‌، یا روانشناسی جمعیت‌، در توالی‌های طبیعی میان خوش بینی و بدبینی حرکت ‌می‌کند. این نوسانات، الگویی را ایجاد ‌می‌کنند که در حرکت قیمت بازارها با هر مرتبه‌، روند یا مقیاس زمانی مشهود است.

در مدل الیوت‌، همانطور که در تصویر فوق نشان داده شده است، قیمت‌های بازار میان یک مرحله کنشی و یک مرحله اصلاحی در همه مقیاس‌های زمانی جریان متناوب دارد.

تکانه‌ها همیشه به مجموعه ای از 5 موج درجه پایین تقسیم ‌می‌شوند و دوباره میان کاراکتر انگیزشی و اصلاحی متناوب قرار ‌می‌گیرند‌، به طوری که امواج 1‌، 3 و 5 ضربان هستند و امواج 2 و 4 امواجی کوچکتر از امواج 1 و 3 هستند. در بازار خرس‌، روند غالب رو به پایین است‌، بنابراین الگوی معکوس ‌اتفاق می‌افتد (برای نمونه ضربان موج 5 رو به پایین و 3 رو به بالا ). ذکر این نکته ضروری است که امواج انگیزشی همیشه با روند حرکت ‌می‌کنند‌، در حالی که امواج اصلاحی در برابر آن حرکت ‌می‌کنند.

الگوهایی به ساختارهای 5 و 3 موج پیوند ‌می‌خورند که خود، ساختارهای موج مشابه خود را با افزایش اندازه یا درجه بالاتر تشکیل ‌می‌دهند. به پایین ترین 3 از چرخه ایده آل توجه کنید. در اولین دنباله 5 از موج کوچک‌، امواج 1‌، 3 و 5 انگیزشی و تحریکی هستند‌، در حالی که امواج 2 و 4 اصلاحی می‌باشند. این نشان ‌می‌دهد که تکانه موج یک درجه بالاتر به سمت بالا است. همچنین این سیگنال از آغاز اولین توالی تصحیحی کوچک سه موج دارد. پس از پنج موج اولیه به بالا و سه موج پایین‌، دنباله دوباره شروع ‌می‌شود و هندسه فراکتالی شباهت خود را با توجه به ساختار پنج و سه موج که زیر آن الگوی فراکتال در طبیعت یک درجه بالاتر است‌، شروع ‌می‌شود. الگوی انگیزه تکمیل شده شامل 89 موج است‌، و به دنبال آن یک الگوی تصحیحی تکمیل شده از 55 موج وجود دارد.

هر درجه در الگو، در بازار مالی یک نام دارد. درجه‌ها نسبی هستند؛ آنها با فرم و نه با اندازه یا مدت زمان مطلق تعریف ‌می‌شوند. امواج در همان درجه ممکن است از اندازه و یا مدت زمانی مربوطه بسیار متفاوت باشند.

طبقه بندی یک موج در هر درجه خاص ‌می‌تواند متفاوت باشد‌، اگرچه متخصصان عموماً با ترتیب استاندارد درجه‌ها (مدت زمان تقریبی داده شده) متفق النظر می‌باشند:

• سوپر سیکل بزرگ (Grand supercycle): چند قرن
• سوپر سیکل (Supercycle): چند دهه (حدود 40-70 سال)
• سیکل (Cycle): یک سال تا چند سال (یا حتی چندین دهه تحت الحاق الیوت)
• اولیه (Primary): چند ماه تا چند سال
• متوسط (Intermediate): هفته‌ها تا ماه‌ها
• مینور (Minor): هفته‌ها
• مینت (Minute): روزها
• Minuette: ساعت‌ها
• Subminuette: دقیقه‌ها

تشخیص الگو و فراکتالها

مدل بازار الیوت به شدت به بررسی نمودارهای قیمت اعتماد دارد. متخصصان و کارشناسان روندهای در حال توسعه را برای تفکیک امواج و ساختارهای موج مطالعه ‌می‌کنند و تشخیص ‌می‌دهند که قیمت‌ها در مرحله بعد چه رفتاری دارند. بنابراین استفاده از اصل موج نوعی شناخت الگو است.

ساختارهای الیوت توصیف شده در بالا، با تعاریف ارائه شده از فراکتال‌ها مطابقت دارند ( الگوهای خود مشابه در هر درجه از روند ظاهر ‌می‌شوند). ریاضی‌دانانی نظیر مندلبورت و هادسن ‌می‌گویند‌، دقیقاً همانطور که در طبیعت، شکستگی‌های طبیعی اتفاق ‌می‌افتند و با گذشت زمان پیچیده تر ‌می‌شوند‌، مدل برگرفته از اصل موج الیوت نشان ‌می‌دهد که روانشناسی جمعی انسان در الگوهای طبیعی‌، از طریق تصمیم گیری‌های خرید و فروش منعکس شده در قیمت‌های بازار‌، شکل ‌می‌گیرد: “گویا ما به نوعی برنامه ریزی شده ایم؛ توسط ریاضیات. سواحل‌، کهکشان‌، دانه‌های برف یا انسان؛ همه ما به همان نظم محدود ‌می‌شویم. ”

این فرض که بازارها در الگوهای قابل تشخیص باز ‌می‌شوند با فرضیه کارآمد بازار مغایر است و بیان ‌می‌کند که نمی‌توان از داده‌های بازار مانند حرکت میانگین و حجم، رفتار ان را پیش‌بینی نمود.

بنوئد ماندلبروت این سوال را مطرح کرده است که آیا امواج الیوت ‌می‌توانند بازارهای مالی را پیش بینی کنند:

” … اما پیش بینی موج یک تجارت بسیار نامشخص است. این هنری است که قضاوت ذهنی نمودارها بیش از حكم عینی و قابل تكرار اعداد اهمیت دارد. ”

منتقدان هشدار ‌می‌دهند که اصل موج بسیار مبهم است بجای اینکه مفید باشد زیرا نمی‌تواند به طور مداوم در هنگام شروع یا پایان موج، شناسایی گردد‌، و اینکه پیش بینی موج الیوت مستعد تجدید نظر ذهنی است. برخی که طرفدار تحلیل تکنیکی بازارها هستند‌، ارزش تحلیل موج الیوت را زیر سوال برده اند. دیوید آرونسون‌، تحلیلگر تکنیکال در اینباره می‌نویسد:

اصل موج الیوت‌، همانطور که الگوی فراکتال در طبیعت الگوی فراکتال در طبیعت در عمل رایج است‌، یک تئوری قانونی نیست‌، بلکه یک داستان و تنها یک داستان قانع کننده است که توسط رابرت پرچر به صورت فصیح بیان ‌می‌شود. این محاسبه قانع کننده است زیرا EWP توانایی ظاهری قابل توجهی دارد که بتواند هر بخش از تاریخ بازار را تا حداکثر نوسانات دقیقه خود، مورد بررسی قرار دهد. من ادعا ‌می‌کنم که این امر با قواعد کاملاً تعریف شده ایجاد گردیده و امکان در نظر گرفتن تعداد زیادی از امواج تو در تو با شدت متفاوت را دارا می‌باشد. این به تحلیلگر الیوت همان آزادی و انعطاف پذیری را ‌می‌دهد که به منجمان پیش از کوپرنیکی اجازه ‌می‌دهد همه حرکات سیاره مشاهده شده را توضیح دهند‌، حتی اگر نظریه اساسی آنها درباره یک جهان زمین محور اشتباه باشد.

فراکتال ها

فراکتال یک شی هندسی است که می توان آن را به قسمت هایی تقسیم کرد که هر یک شبیه به جسم اصلی است. فراکتال ها دارای جزئیات بی نهایت هستند و اغلب خود مشابه و مقیاس بندی شده اند. در خیلی از موارد، فراکتال ها آنها می توانند توسط الگوهای تکراری، فرآیندهای بازگشتی یا تکرار شونده تولید شوند.

در این مقاله قصد داریم هر آنچه که باید در مورد فراکتال ها، ویژگی ها و اهمیت آنها بدانید را به شما بگوییم.

خواص فراکتال ها

ویژگی‌های اصلی که فراکتال‌ها را مشخص می‌کنند، خود شباهت، پیچیدگی بی‌نهایت و ابعاد هستند.

شباهت خود

خود شباهت زمانی است که بخشی از یک شکل یا طرح کلی را می توان به عنوان کپی از کل، در مقیاس کوچکتر مشاهده کرد.

پیچیدگی بی نهایت

به این واقعیت اشاره دارد که فرآیند تشکیل نمودار بازگشتی است. این بدان معناست که وقتی یک رویه اجرا می‌شود، رویه‌ای که قبلاً اجرا شده است، خود یک رویه فرعی در رویه آن است.

شایان ذکر است که در مورد ساخت تکراری یک فراکتال تعریف شده ریاضی، برنامه ای که باید اجرا شود بی نهایت است که منجر به ساختاری بی نهایت پیچیده می شود.

ابعاد

برخلاف هندسه اقلیدسی، ابعاد فراکتال ها لزوماً مقادیر صحیح نیستند. در این شاخه از ریاضیات، نقاط دارای بعد صفر، خطوط یک بعد، سطوح دارای دو بعد و حجم ها دارای سه بعدی هستند. در مورد بعد فراکتال، این یک کمیت کسری است الگوی فراکتال در طبیعت که نشان می‌دهد که یک سازه چقدر فضایی را که شامل آن است، اشغال می‌کند.

نمونه هایی از فراکتال ها

اولین فراکتال های مورد مطالعه مجموعه کانتور، دانه برف کوخ و مثلث سیرپینسکی بودند. فراکتال ها را می توان به صورت هندسی یا تصادفی از طریق فرآیندهای بازگشتی به دست آورد و می تواند ویژگی های انواع مختلفی از اشکال موجود در طبیعت را به خود بگیرد.

فراکتال ها در همه جا وجود دارند. بسیاری از اشیاء طبیعی وجود دارند که به دلیل رفتار یا ساختارشان، فراکتال‌های طبیعی در نظر گرفته می‌شوند، اما اینها انواع محدودی از فراکتال‌ها هستند که آنها را از فرکتال‌های نوع ریاضی ایجاد شده توسط برهمکنش‌های بازگشتی متمایز می‌کند. نمونه هایی از این ابرها و درختان هستند.

ویژگی های کلیدی

کلمه "فرکتال" از کلمه لاتین fractus گرفته شده است که به معنای "تکه تکه"، "شکسته" یا به سادگی "شکسته" یا "شکسته" است و برای اجسام با ابعاد کسری مناسب است. این اصطلاح توسط بنوا ماندلبرو در سال 1977 ابداع شد و در کتاب هندسه فراکتال طبیعت او ظاهر شد. مطالعه اجسام فراکتال را اغلب هندسه فراکتال می نامند.

فراکتال یک مجموعه ریاضی است که می تواند از شباهت خود در هر مقیاسی برخوردار باشد و ابعاد آن اعداد صحیح نیستند یا اگر بودند، اعداد صحیح معمولی نبودند. خود شباهت بودن آن به این معناست که شی فراکتال به خود ناظر بستگی ندارد، یعنی اگر نوعی فراکتال بگیریم، می‌توانیم بررسی کنیم که وقتی دو برابر بزرگ‌نمایی می‌کنیم، نقاشی مانند تصویر اول است. اگر ضریب 1000 بزرگنمایی کنیم، همان ویژگی ها را تأیید می کنیم، بنابراین اگر n را افزایش دهیم، نمودار یکسان است، بنابراین جزء شبیه به کل است.

به یک مجموعه یا شی زمانی گفته می شود که با کاهش مقیاس ابزار اندازه گیری، به طور دلخواه بزرگ شود. بسیاری از اشیاء معمولی وجود دارند که به دلیل ساختار یا رفتار طبیعی در نظر گرفته می شوند.حتی اگر آنها را نشناسیم. ابرها، کوه‌ها، خطوط ساحلی، درختان و رودخانه‌ها همگی فراکتال‌های طبیعی هستند، اگرچه محدود هستند و بنابراین ایده‌آل نیستند، برخلاف فرکتال‌های ریاضی که از بی‌نهایت لذت می‌برند و ایده‌آل هستند.

فراکتال ها و علم

هنر فراکتال ارتباط نزدیکی با ریاضیات به ویژه هندسه دارد، زیرا همانطور که از نامش پیداست از مفهوم فراکتال استفاده می کند. فراکتال ها بر اساس تکرار مداوم یک الگوی هندسی خود همبسته است، یعنی جزء برابر با کل است.

هنگام ساختن مثلث سیرپینسکی، از یک مثلث متساوی الاضلاع، نقطه وسط آن را بگیرید، یک مثلث متساوی الاضلاع جدید تشکیل دهید و مرکز را حذف کنید. سپس همین کار را با هر مثلث باقی مانده انجام دهید، و غیره، بنابراین فراکتال در نظر گرفته می شود. بنوا ماندلبروت که اشکال ریاضی معروف به فراکتال را کشف کرد، در سن 85 سالگی بر اثر سرطان درگذشت. مندلبروت، یک شهروند فرانسوی و آمریکایی، فراکتال ها را به عنوان یک روش ریاضی برای درک پیچیدگی بی نهایت طبیعت توسعه داد.

برای پرداختن به طبقه‌بندی از عمومی به خاص، می‌توان آنها را به دو دسته کلی تقسیم کرد: فراکتال‌های قطعی (که به نوبه خود می‌توانند جبری یا هندسی باشند) و فراکتال‌های غیر قطعی (همچنین به عنوان فرکتال‌های تصادفی شناخته می‌شوند).

فراکتال های خطی آنهایی هستند که با تغییر مقیاس ساخته می شوند، یعنی در همه مقیاس ها یکسان هستند. از سوی دیگر، فراکتال های غیرخطی، ناشی از تحریفات پیچیده، یا همانطور که از نام آن پیداست، برای استفاده از یک اصطلاح در ریاضیات آشفته، اعوجاج غیرخطی.

زندگی روزمره

اکثر اجسام کاملاً ریاضی و طبیعی غیرخطی هستند. در ریاضیات، خود شباهت، که گاهی اوقات خود تشابه نامیده می شود، ویژگی یک شی است (به نام شیء خود متشابه) که در آن کل دقیقاً یا تقریباً مشابه همان جزء است، برای مثال زمانی که کل دارای همان است. یک یا چند به شکل قطعات آن.

یک فراکتال با محیطی مشخص می شود که به سمت بی نهایت گرایش دارد جزئیات کوچکتر و کوچکتر را با تکرارهای متوالی اضافه کنید. با این حال، این منحنی با هیچ محدودیت زمانی دایره ای که مثلث اولیه را محصور می کند، همپوشانی ندارد. ابرها، کوه ها، سیستم گردش خون، خطوط ساحلی یا دانه های برف همگی فراکتال های طبیعی هستند. این نمایش تقریبی است زیرا ویژگی‌های اشیاء ایده‌آل، مانند جزئیات بی‌نهایت، در طبیعت محدود هستند.

هندسه فراکتال سعی در مدل سازی و توصیف بسیاری از پدیده های طبیعی و آزمایش های علمی دارد و تنها در عرض چند سال به آن تبدیل شده است. ابزاری چند رشته ای که توسط دانشمندان، پزشکان، هنرمندان، جامعه شناسان، اقتصاددانان، هواشناسان، موسیقیدانان، دانشمندان کامپیوتر استفاده می شود.، و غیره

امیدوارم با این اطلاعات بتوانید در مورد فراکتال ها و ویژگی های آنها اطلاعات بیشتری کسب کنید.

محتوای مقاله به اصول ما پیوست اخلاق تحریریه. برای گزارش یک خطا کلیک کنید اینجا.

مسیر کامل مقاله: هواشناسی شبکه » هواشناسی » علم » فراکتال ها

سفر دو دقیقه ای به دنیای فراکتال های ۳بعدی

طرح‌های فراکتالی و الگوهای خودتکرارشونده در جای‌جای زندگی و طبیعت دیده می‌شوند، اما طراحی فراکتال ۳بعدی با رایانه وارد حوزه هنر هم شده است.

تام بدارد، فیزیک‌دان ۳۷ ساله اهل ادینبورگ اسکاتلند است که فیزیک‌پیشگی را رها کرده و به طراحی وب روی آورده است. وی با الهام از الگوهای هندسی، این طرح‌های فراکتالی ۳بعدی را طراحی کرده و آنها را فراکتال‌های فابرژ نامیده است.

طرح‌های فراکتالی یا از تکرار الگوهایی ساده یا پیچیده به‌وجود می‌آیند و هرگز پایان نمی‌یابند. هرچه با بزرگ‌نمایی بیشتر به آنها نگاه کنید، باز به همان الگوها مي‌رسید. اما در فراکتال‌های فابرژ هرچه با بزرگ‌نمایی بیشتر نگاه کنید، جزئیات آنها نیز افزایش می‌یابد.

فراکتال‌ها در فیزیک، شیمی، زمین‌شناسی و مهندسی کاربرد دارند و در فیلم زیر می‌توانید ببینید که چگونه با استفاده از فرمول‌های بازگشتی می‌توان صفحات را تا زد، متجانس یا وارون کرد و دوران داد.

فرکتال

فرکتال با پایتون بسیار ساده و جذاب است. فرکتال‌ها که به اونها بَرخال هم گفته میشه، یکی از مفاهیم بسیار جالب و کاربردی ریاضی هست.

به زبان ساده، فرکتال یک ساختار پیچیده هست که با تکرار یک الگوی ساده درست میشه.

از دونه‌های برف گرفته تا شاخه های درختان، دنیای اطراف ما پر هست از فرکتال‌ها. فرکتال‌ها را در بسیاری از بناهای تاریخی ایران مثل مسجد امام اصفهان هم میتونی ببینی.

چون فرکتال‌ها با تکرار یک الگو ساخته میشن، ما با کدنویسی میتونیم پیچیده‌ترین فرکتال‌ها را بکشیم.

اینجا با استفاده از زبان برنامه نویسی پایتان دوتا از معروف ترین فرکتال‌‌ها را درست میکنیم.

برف‌دانه کُخ

این فرکتال ساخته یک ریاضیدان سوئدی به اسم فون کُخ هست.

کد پایین را اجرا کن تا لاکی این فرکتال را بکشه.
الان درجه فرکتال یا order روی دو هست. میتونی بیشترش کنی تا لاکی یه فرکتال پیچیده‌تر بکشه. با اضافه کردن یک حلقه در کد میتونی طرح الگوی فراکتال در طبیعت سقف یک گنبد را بکشی.

فرکتال سرپینسکی

این کد را اجرا کن تا لاکی این فرکتال را هم بکشه.
درجه فرکتال را هم میتونی بیشترش کنی.

اگر تو هم برنامه‌ای برای رسم یک فرکتال نوشتی، برای ما بفرست تا در پایلی بگذاریمش.